Question

9．已知△ABC是锐角三角形，P=sinA+sinB，Q=cosA+cosB，则P与Q的大小关系为P＞Q．

Answer 1

分析 作差由和差化积公式可得P-Q=2cos$\frac{A-B}{2}$（sin$\frac{A+B}{2}$-cos$\frac{A+B}{2}$），由锐角三角形角的范围可判每个式子的正负，由此可得结论．

解答 解：由题意可得P-Q=（sinA+sinB）-（cosA+cosB）
=2sin$\frac{A+B}{2}$cos$\frac{A-B}{2}$-2cos$\frac{A+B}{2}$cos$\frac{A-B}{2}$
=2cos$\frac{A-B}{2}$（sin$\frac{A+B}{2}$-cos$\frac{A+B}{2}$）
∵△ABC是锐角三角形，∴A+B=π-C＞$\frac{π}{2}$，
∴$\frac{A+B}{2}$＞$\frac{π}{4}$，∴sin$\frac{A+B}{2}$＞cos$\frac{A-B}{2}$，
由A和B为锐角可得-$\frac{π}{4}$＜$\frac{A-B}{2}$＜$\frac{π}{4}$，∴cos$\frac{A-B}{2}$＞0，
∴P-Q＞0，即P＞Q，
故答案为：P＞Q．

点评 本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及和差化积公式及三角函数的值域，属中档题．