题目内容
【题目】已知函数,其中是自然对数的底数,.
(1) 若是函数的导函数,当时,解关于的不等式;
(2) 若在 上是单调增函数,求的取值范围;
(3) 当时,求整数的所有值,使方程在上有解.
【答案】(1) ;(2);(3).
【解析】
(1)先求导数,所求不等式可化为ax2+(2a+1)x>0然后可求;
(2)在 上是单调增函数转化为在恒成立,结合根的分布求解;
(3)根据零点存在定理和单调性,先确定零点所在区间,然后确定的值.
(1) f′(x)=[ax2+(2a+1)x+1]·ex.
不等式f′(x)>ex可化为[ax2+(2a+1)x]·ex>0.
因为ex>0,故有ax2+(2a+1)x>0.
当a>0时,不等式f′(x)>ex的解集是.
(2) 由(1)得f′(x)=[ax2+(2a+1)x+1]·ex.
① 当a=0时,f′(x)=(x+1)ex,f′(x)>0在[-1,1]上恒成立,
当且仅当x=-1时取等号,故a=0符合要求;
② 当a≠0时,令g(x)=ax2+(2a+1)x+1,
因为Δ=(2a+1)2-4a=4a2+1>0,
所以g(x)=0有两个不相等的实数根x1,x2,不妨设x1>x2,
因此f(x)既有极大值又有极小值.
若a>0,因为g(-1)·g(0)=-a<0,所以f(x)在(-1,1)上有极值点.
故f(x)在[-1,1]上不单调.
若a<0,可知x1>0>x2,
因为g(x)的图象开口向下,要使f(x)在[-1,1]上单调,又g(0)=1>0,
必须满足,即,解得≤a<0.
综上所述,a的取值范围是.
(3) 当a=0时,方程即为xex=x+2,由于ex>0,所以x=0不是方程的解,
所以原方程等价于ex--1=0,令h(x)=ex--1.
因为h′(x)=ex+>0对于x∈(-∞,0)∪(0,+∞)恒成立,
所以h(x)在(-∞,0)和(0,+∞)上是单调增函数.
又h(1)=e-3<0,h(2)=e2-2>0,h(-3)=e-3-<0,h(-2)=e-2>0,
所以方程f(x)=x+2有且只有两个实数根,
且分别在区间[1,2]和[-3,-2]上,
所以整数k的所有值为{-3,1}.