题目内容

【题目】已知函数,其中是自然对数的底数,.

(1) 若是函数的导函数,当时,解关于的不等式

(2) 若 上是单调增函数,求的取值范围;

(3) 当时,求整数的所有值,使方程上有解.

【答案】(1) ;(2);(3).

【解析】

(1)先求导数,所求不等式可化为ax2(2a1)x>0然后可求;

(2) 上是单调增函数转化为恒成立,结合根的分布求解;

(3)根据零点存在定理和单调性,先确定零点所在区间,然后确定的值.

(1) f′(x)[ax2(2a1)x1]·ex.

不等式f′(x)>ex可化为[ax2(2a1)xex>0.

因为ex>0,故有ax2(2a1)x>0.

a>0时,不等式f′(x)>ex的解集是.

(2) (1)f′(x)[ax2(2a1)x1]·ex.

a0时,f′(x)(x1)exf′(x)>0[11]上恒成立,

当且仅当x=-1时取等号,故a0符合要求;

a≠0时,令g(x)ax2(2a1)x1

因为Δ(2a1)24a4a21>0

所以g(x)0有两个不相等的实数根x1x2,不妨设x1>x2

因此f(x)既有极大值又有极小值.

a>0,因为g(1)·g(0)=-a<0,所以f(x)(11)上有极值点.

f(x)[11]上不单调.

a<0,可知x1>0>x2

因为g(x)的图象开口向下,要使f(x)[11]上单调,又g(0)1>0

必须满足,即,解得a<0.

综上所述,a的取值范围是.

(3) a0时,方程即为xexx2,由于ex>0,所以x0不是方程的解,

所以原方程等价于ex10,令h(x)ex1.

因为h′(x)ex>0对于x(0)(0,+∞)恒成立,

所以h(x)(0)(0,+∞)上是单调增函数.

h(1)e3<0h(2)e22>0h(3)e3<0h(2)e2>0

所以方程f(x)x2有且只有两个实数根,

且分别在区间[12][3,-2]上,

所以整数k的所有值为{31}

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