题目内容
10.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,满足c=1,且cosBsinC+(a-sinB)cos(A+B)=0.(1)求角C的大小;
(2)求a2+b2的最大值,并求取得最大值时角A,B的值.
分析 (1)由三角函数恒等变换化简已知等式可得sinA=acosC,结合正弦定理,可得sinC=cosC,从而可求C.
(2)由余弦定理整理可得a2+b2=1+$\sqrt{2}$ab,①,利用基本不等式aab≤$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}$②,由代入法,即可得到当且仅当a=b时取到等号,从而可求取得最大值时∠A,∠B的值.
解答 解:(1)由cosBsinC+(a-sinB)cos(A+B)=0.
可得cosBsinC-(a-sinB)cosC=0,
即为sin(B+C)=acosC,
即有sinA=acosC,
∵$\frac{sinA}{a}$=$\frac{sinC}{c}$=sinC,
∴sinC=cosC,即tanC=1,
∴C=$\frac{π}{4}$;
(2)∵a2+b2-c2=2abcosC,
∴a2+b2=c2+2abcos$\frac{π}{4}$=1+$\sqrt{2}$ab,①,
∵ab≤$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}$②,
∴②代入①可得:a2+b2≤1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$(a2+b2),
∴a2+b2≤2+$\sqrt{2}$,
当且仅当a=b时取到等号,
即取到最大值2+$\sqrt{2}$时,A=B=$\frac{3π}{8}$.
点评 本题主要考查了正弦定理,余弦定理,基本不等式的应用,综合性较强,属于基本知识的考查.
练习册系列答案
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