Question

【题目】已知函数.

（1）当时，试判断函数的单调性；

（2）若，求证：函数在上的最小值小于.

Answer 1

【答案】(1) 函数在上单调递増(2)见解析

【解析】试题分析：（1）第（1）问，直接求导，再利用二次求导求函数的单调性. (2)第（2）问，对a分类讨论，再利用导数求出求每一种情况下函数的单调性，从而证明函数在上的最小值小于.

试题解析：

（1）由题可得，

设，则，

所以当时， 在上单调递增，

当时， 在上单调递减，

所以，因为，所以，即，

所以函数在上单调递増.

（2）由（1）知在上单调递増，

因为，所以，

所以存在，使得，即，即，

所以函数在上单调递减，在上单调递増，所以当时

，

令，则恒成立，

所以函数在上单调递减，所以，

所以，即当时，

故函数在上的最小值小于.