题目内容
【题目】已知函数.
(I)求曲线在点
处的切线方程.
(II)求证:当时,
.
(III)设实数使得
对
恒成立,求
的最大值.
【答案】(I);(II)见解析;(III)
最大值为
.
【解析】试题分析:(I),得
,又
,可得在
处切线方程为
.
(II)令,求导得出
的增减性,然后由
得证.
(III)由(II)可知,当时,
对
恒成立.
时,令
,求导,可得
上
单调递减,当
时,F
, 即当
时,
,对
不恒成立,可得k的最大值为2.
试题解析:(I)∵,
,
∴,
∴.
∵,
,
,
∴在处切线方程为
.
(II)证明:令,
,
,
∴,
∴,
即在时,
.
(III)由(II)知,在时,
对
恒成立,
当时,令
,
则,
,
∴当时,
,
此时在上
单调递减,
当时,
,
即,
∴当时,
,
对不恒成立,
∴最大值为
.
点晴:本题主要考查函数导数与不等式,恒成立问题.要证明一个不等式,我们可以先根据题意所给条件化简这个不等式,如第二问的不等式,可以转化为,第三问的不等式可以转化为
,划归与转化之后,就可以假设相对应的函数,然后利用导数研究这个函数的单调性、极值和最值,图像与性质,进而求解得结果.
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