题目内容
（1）在平面直角坐标系xOy中，判断曲线C：
（θ为参数）与直线l：
（t为参数）是否有公共点，并证明你的结论．
（2）已知a＞0，b＞0，a+b=1，求证：
+
≥
．
|
|
（2）已知a＞0，b＞0，a+b=1，求证：
| 1 |
| 2a+1 |
| 4 |
| 2b+1 |
| 9 |
| 4 |
分析：（1）将参数方程化为普通方程，再将直线方程代入椭圆方程，利用方程的判别式，可得结论；
（2）证法一：因为a＞0，b＞0，a+b=1，所以（
+
）[（2a+1）+（2b+1）]，再利用基本不等式，可得结论；
证法二：因为a＞0，b＞0，（
+
）[（2a+1）+（2b+1）]，由柯西不等式可证结论．
（2）证法一：因为a＞0，b＞0，a+b=1，所以（
| 1 |
| 2a+1 |
| 4 |
| 2b+1 |
证法二：因为a＞0，b＞0，（
| 1 |
| 2a+1 |
| 4 |
| 2b+1 |
解答：（1）解：直线l的普通方程为x+2y-3=0． …（3分）
曲线C的普通方程为x2+4y2=4． …（3分）
由方程组
得8y2-12y+5=0
因为△=-16＜0，所以曲线C与直线l没有公共点． …（4分）
（2）证法一：因为a＞0，b＞0，a+b=1，
所以（
+
）[（2a+1）+（2b+1）]
=1+4+
+
…（5分）
≥5+2
=9． …（3分）
而（2a+1）+（2b+1）=4，所以
+
≥
． …（2分）
证法二：因为a＞0，b＞0，由柯西不等式得
（
+
）[（2a+1）+（2b+1）]…（5分）
≥（
+
）2=（1+2）2=9． …（3分）
由a+b=1，得 （2a+1）+（2b+1）=4，
所以
+
≥
． …（2分）
曲线C的普通方程为x2+4y2=4． …（3分）
由方程组
|
因为△=-16＜0，所以曲线C与直线l没有公共点． …（4分）
（2）证法一：因为a＞0，b＞0，a+b=1，
所以（
| 1 |
| 2a+1 |
| 4 |
| 2b+1 |
=1+4+
| 2b+1 |
| 2a+1 |
| 4(2a+1) |
| 2b+1 |
≥5+2
|
而（2a+1）+（2b+1）=4，所以
| 1 |
| 2a+1 |
| 4 |
| 2b+1 |
| 9 |
| 4 |
证法二：因为a＞0，b＞0，由柯西不等式得
（
| 1 |
| 2a+1 |
| 4 |
| 2b+1 |
≥（
|
|
由a+b=1，得 （2a+1）+（2b+1）=4，
所以
| 1 |
| 2a+1 |
| 4 |
| 2b+1 |
| 9 |
| 4 |
点评：本题考查参数方程，考查不等式的证明，解题的关键是化参数方程为普通方程，正确运用基本不等式与柯西不等式，属于中档题．
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