Question

7．已知集合A={（x，y）|x²+（y+1）²≤1}，B={（x，y）|$\sqrt{3}$x+y=4m}，命题p：A∩B=∅，命题q：方程$\frac{{x}^{2}}{2m}$+$\frac{{y}^{2}}{1-m}$=1表示焦点在y轴上的椭圆．
（1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围；
（2）若“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据命题p是真命题，结合直线和圆的位置关系，求出m的范围即可；（2）分别求出p，q为真时的m的范围，通过讨论p，q的真假，求出m的范围即可．

解答 解：（1）由命题p为真命题，
则d=$\frac{|\sqrt{3}×0+1×（-1）-4m|}{\sqrt{{（\sqrt{3}）}^{2}{+1}^{2}}}$＞1…（3分）
解得：m＞$\frac{1}{4}$或m＜-$\frac{3}{4}$         …（5分）
（2）若命题q为真命题，
则$\left\{\begin{array}{l}{2m＞0}\\{1-m＞0}\\{2m＜1-m}\end{array}\right.$，解得：0＜m＜$\frac{1}{3}$  …（8分）
∵“p∨q”为真，“p∧q”为假∴p，q一真一假…（9分）
若p真q假，则m≥$\frac{1}{3}$或m＜-$\frac{3}{4}$…（11分）；
若p假q真，则0＜m≤$\frac{1}{4}$ …（13分）
综上：m的取值范围为m≥$\frac{1}{3}$或m＜-$\frac{3}{4}$，或0＜m≤$\frac{1}{4}$…（14分）

点评 本题考查了符合命题的判断，考查直线和圆的位置关系以及椭圆的性质，是一道基中档题．