Question

19．已知函数f（x）=3sin（2x-$\frac{π}{4}$）（x∈R）．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）单调区间；
（3）求f（x）图象的对称轴，对称中心．
（4）求f（x）的最大值以及达到最大值时x的值的集合．

Answer 1

分析 由条件利用正弦函数的周期性、单调性以及它的图象的对称性、函数的最大值，得出结论．

解答 解：对于函数函数f（x）=3sin（2x-$\frac{π}{4}$），（1）它的周期为$\frac{2π}{2}$=π；
（2）令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{3π}{8}$，可得函数的增区间为[kπ-$\frac{π}{8}$，kπ+$\frac{3π}{8}$]，k∈Z．
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，求得kπ+$\frac{3π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{7π}{8}$，可得函数的增区间为[kπ+$\frac{3π}{8}$，kπ+$\frac{7π}{8}$]，k∈Z．
（3）令2x-$\frac{π}{4}$=kπ+$\frac{π}{2}$，求得x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{3π}{8}$，可得函数的图象的对称轴方程为x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{3π}{8}$，k∈Z．
令2x-$\frac{π}{4}$=kπ，求得x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{8}$，可得函数的图象的对称中心为（$\frac{kπ}{2}$+$\frac{3π}{8}$，0），k∈Z．
（4）令2x-$\frac{π}{4}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，求得x=kπ+$\frac{3π}{8}$，k∈Z，可得函数的最大值为2，此时，x满足x∈{x|x=kπ+$\frac{3π}{8}$，k∈Z}．

点评 本题主要考查正弦函数的周期性、单调性以及它的图象的对称性、最大值，属于中档题．