Question

已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F₁、F₂在x轴上，长轴A₁A₂的长为4，左准线l与x轴的交点为M，

MA1

=2

A1F1

．
（I）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过点M的直线l'与椭圆交于C、D两点，若

OC

•

OD

=0，求直线l'的方程．

Answer 1

分析：（I）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，半焦距为c，由题意能够导出a=2，b=

3

，c=1，故椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（II）设所求l'的方程为y=k（x+4），将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用向量垂直的公式即可求得k值，从而解决问题．

解答：解：（I）设椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，半焦距为c

则| MA1 |= a2 c -a，| A1F1 |=a-c. 由题意，得 a2 c -a=2(a-c) 2a=4 a2=b2+c2 ∴a=2，b= 3 ，c=1 故所求椭圆方程为 x2 4 + y2 3 =1

（II）点M的坐标为M（-4，0），设C、D两点坐标分别为C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），l'的方程为y=k（x+4），代入椭圆方程整理，得

(3+4k2)x2+32k2x+64k2-12=0 则x1+x2=- 32k2 3+4k2 ，x1x2= 64k2-12 3+4k2 由 OC • OD =0得x1x2+y1y2=0 又y1y2=k2[x1x2+4(x1+x2)+16]

后三个式子得(1+k2)

64k2-12

3+4k2

+4k2

(-32k2)

3+4k2

+16k2=0
解得k2=

3

25

，代入第一个中检验有△＞0，∴k=±

3

5

，
所以所求直线l’的主程为y=±

3

5

(x+4)

点评：本小题主要考查椭圆的标准方程、直线方程的应用、直线与圆锥曲线的综合问题等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、方程思想．属于基础题．