Question

【题目】已知函数f（x）=2x+2﹣x ．
（1）求方程f（x）= 的根；
（2）求证：f（x）在[0，+∞）上是增函数；
（3）若对于任意x∈[0，+∞），不等式f（2x）≥f（x）﹣m恒成立，求实数m的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：方程 ，即 ，

亦即 ，

∴2x=2或 ，

∴x=1或x=﹣1

（2）证明：设0≤x1＜x2，

则 ，

∴f（x1）＜f（x2），∴f（x）在[0，+∞）上是增函数

（3）解：由条件知f（2x）=22x+2﹣2x=（2x+2﹣x）2﹣2=（f（x））2﹣2，

因为f（2x）≥f（x）﹣m对于x∈[0，+∞）恒成立，且f（x）＞0，

m≥f（x）﹣f（2x）=f（x）﹣[f（x）]2+2．

又x≥0，∴由（2）知f（x）最小值为2，

∴f（x）=2时，m最小为2﹣4+2=0

【解析】（1）求出2x的值，从而求出方程的根即可；（2）根据函数单调性的定义证明即可；（3）求出f（2x）的表达式，得到m≥f（x）﹣f（2x）=f（x）﹣[f（x）]2+2，从而求出m的最小值即可．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用函数单调性的判断方法的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较．