题目内容
【题目】已知函数(其中
).
(1)讨论函数的极值;
(2)对任意,
成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1) ①当时,
无极值;②当
时,
有极大值
,无极小值;(2)
.
【解析】
(1)先对函数求导,分别讨论
,
两种情况,用导数的方法研究函数的单调性,即可得出结果;
(2)根据(1)中结果,求出的最大值,由对任意
,
成立,得到
在
上恒成立,令
,用导数的方法研究其单调性,进而可求出结果.
(1)的定义域为
又
①当时,在
上,
,
是减函数;
无极值;
②当时,
得
在上
,
是增函数;在
上,
,
是减函数,
所以当时,
有极大值
,无极小值,
综合知:①当时,
无极值;
②当时,
有极大值
,无极小值;
(2)由(1)知:①当,
是增函数,又令
,
,不成立;
②当时,当
时,
取得极大值也是最大值,
所以
要使得对任意,
成立,
即:在
上恒成立,
则在
上恒成立,
令
所以
令
,得
在上,
,
是增函数,在
上,
,
是减函数,
所以当时,
取得极大值也是最大值,
∴
在上,
,
是减函数,又
要使得恒成立,则
.
所以实数的取值范围为
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