Question

【题目】已知函数.

（1）当时, 求曲线的极值;

（2）求函数的单调区间;

（3）若对任意及时, 恒有成立, 求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）极小值为.（2）详见解析（3）

【解析】

试题分析：（1）先求函数导数，再求导函数在定义区间上零点。列表分析导函数符号变化规律得函数极值（2）由导函数为零点得，根据零点是否在定义区间上，以及两个零点大小关系，分类讨论导函数符号变化规律，确定对应单调区间：共分四种情况，，，（3）多变量不等式恒成立问题，一般方法仍为变量分离法，先分离x得,即；再分离m得的最小值

试题解析：（1）函数的定义域为,当时,, 解得(舍去),, 在上递减, 在上递增, 所以的极小值为.

（2）,令可得.

①当时, 由可得在上单调递减, 由可得在上单调递增.

②当时, 由可得在上单调递减, 由可得得在和上单调递增.

③当时, 由可得在上单调递增.

④当时, 由可得在上单调递减, 由可得得在和上单调递增.

（3）由题意可知, 对时, 恒有成立, 等价于,

由（2）知, 当时, 在上单调递增,, 所以原题等价于时, 恒有成立, 即.在时, 由,故当时,

恒成立,.