Question

17．已知抛物线f（x）=x²+bx+c与x轴交于A（-2，0），B（1，0）两点．
（1）求关于x的不等式x²+bx+c＜0的解集；
（2）若不等式f（x）≥3x+a对任意实数x恒成立，求实数a的最大值；
（3）若关于x的不等式f（x）-mx-2＜0的解集中恰有4个整数，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）运用零点式，可得f（x）的解析式，由二次不等式的解法即可得到解集；
（2）不等式f（x）≥3x+a对任意实数x恒成立，即为a≤x²-2x-2恒成立，由配方即可得到右边的最小值，由恒成立思想即可得到最大值；
（3）不等式f（x）-mx-2＜0即为x²+（1-m）x-4＜0，令g（x）=x²+（1-m）x-4，g（0）=-4＜0，即有g（x）＜0的解集中有0，讨论①当解集中的四个整数为-3，-2，-1，0，②当解集中的四个整数为-2，-1，0，1，③当解集中的四个整数为-1，0，1，2．④当解集中的四个整数为0，1，2，3，运用二次函数的图象，可得不等式组，解得即可得到所求m的范围．

解答 解：（1）由题意可得f（x）=（x+2）（x-1），
不等式x²+bx+c＜0即为（x+2）（x-1）＜0，
解得-2＜x＜1，
即解集为（-2，1）；
（2）不等式f（x）≥3x+a对任意实数x恒成立，即为
a≤x²-2x-2恒成立，
由x²-2x-2=（x-1）²-3，可得当x=1时，取得最小值-3．
则a≤-3，
即有a的最大值为-3；
（3）不等式f（x）-mx-2＜0即为x²+（1-m）x-4＜0，
令g（x）=x²+（1-m）x-4，g（0）=-4＜0，
即有g（x）＜0的解集中有0，
①当解集中的四个整数为-3，-2，-1，0，
即有$\left\{\begin{array}{l}{g（-4）=8+4m≥0}\\{g（-3）=2+3m＜0}\\{g（1）=-2-m≥0}\end{array}\right.$即为$\left\{\begin{array}{l}{m≥-2}\\{m＜-\frac{2}{3}}\\{m≤-2}\end{array}\right.$，解得m=-2；
②当解集中的四个整数为-2，-1，0，1，
即有$\left\{\begin{array}{l}{g（-3）=2+3m≥0}\\{g（-2）=2m-2＜0}\\{g（1）=-2-2m＜0}\\{g（2）=2（1-m）≥0}\end{array}\right.$即为$\left\{\begin{array}{l}{m≥-\frac{2}{3}}\\{m＜1}\\{m＞-1}\\{m≤1}\end{array}\right.$，即为-$\frac{2}{3}$≤m＜1；
③当解集中的四个整数为-1，0，1，2．
即有$\left\{\begin{array}{l}{g（-2）≥0}\\{g（-1）＜0}\\{g（2）＜0}\\{g（3）≥0}\end{array}\right.$即为$\left\{\begin{array}{l}{m≥1}\\{m＜4}\\{m＞1}\\{m≤\frac{8}{3}}\end{array}\right.$，即有1＜m≤$\frac{8}{3}$；
④当解集中的四个整数为0，1，2，3，
即有$\left\{\begin{array}{l}{g（-1）=m-4≥0}\\{g（3）=8-3m＜0}\\{g（4）=16-4m≥0}\end{array}\right.$即为$\left\{\begin{array}{l}{m≥4}\\{m＞\frac{8}{3}}\\{m≤4}\end{array}\right.$，解得m=4．
综上可得，实数m的取值范围是：m=-2或-$\frac{2}{3}$≤m＜1或1＜m≤$\frac{8}{3}$或m=4．

点评 本题考查二次不等式的解法和运用，主要考查不等式恒成立问题注意转化为求函数的最值，同时考查分类讨论的思想方法和二次函数的图象和性质，属于中档题．