题目内容
12.函数f(x)=2cos2x+2sinx-1,x∈[-$\frac{π}{6}$,$\frac{2π}{3}$]的值域为[-$\frac{1}{2}$,$\frac{3}{2}$].分析 由条件利用同角三角函数的基本关系化简函数的解析式,再利用正弦函数的定义域和值域,二次函数的性质,求得函数f(x)的值域.
解答 解:∵函数f(x)=2cos2x+2sinx-1=-2sin2x+2sinx+1=-2${(sinx-\frac{1}{2})}^{2}$+$\frac{3}{2}$,
当x∈[-$\frac{π}{6}$,$\frac{2π}{3}$]时,sinx∈[-$\frac{1}{2}$,1],故当sinx=$\frac{1}{2}$时,f(x)取得最大值为$\frac{3}{2}$;
当sinx=-$\frac{1}{2}$时,f(x)取得最小值为-$\frac{1}{2}$,
故函数的值域为[-$\frac{1}{2}$,$\frac{3}{2}$],
故答案为:[-$\frac{1}{2}$,$\frac{3}{2}$].
点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系,正弦函数的定义域和值域,二次函数的性质,属于基础题.
练习册系列答案
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