题目内容

12.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知sinB(tanA+tanC)=tanAtanC
(Ⅰ)求证:a,b,c成等比数列;
(2)若cosB=$\frac{3}{4}$,$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}$=-$\frac{3}{2}$,求a+c.

分析 (I)sinB(tanA+tanC)=tanAtanC,化为$sinB•\frac{sinAcosC+cosAsinC}{cosAcosC}$=$\frac{sinAsinC}{cosAcosC}$,即sinBsinB=sinAsisnC,利用正弦定理可得b2=ac,即可证明.
(2)利用数量积运算性质、余弦定理即可得出.

解答 (I)证明:∵sinB(tanA+tanC)=tanAtanC,∴$sinB•\frac{sinAcosC+cosAsinC}{cosAcosC}$=$\frac{sinAsinC}{cosAcosC}$,
∴sinBsin(A+C)=sinAsisnC,即sinBsinB=sinAsisnC,利用正弦定理可得b2=ac,
∴a,b,c成等比数列;
(2)解:∵$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}$=-$\frac{3}{2}$,∴-accosB=-$\frac{3}{2}$,又cosB=$\frac{3}{4}$,
∴ac=2,
又cosB=$\frac{3}{4}$=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$,b2=ac.
∴3=(a+c)2-6,
解得a+c=3.

点评 本题考查了数量积运算性质、正弦定理与余弦定理、两角和差公式、等比数列定义,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

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