题目内容
12.已知函数f(x)=$\frac{{\sqrt{2}sin(x+\frac{π}{4})+\sqrt{2}}}{sinx}$.(Ⅰ)求函数f(x)的定义域;
(Ⅱ)若f(x)=2,求x的取值集合及sin2x的值.
分析 (Ⅰ)求使sinx≠0的x 范围即可;
(Ⅱ)由f(x)=2,化简得到sin2x=-1,由此得到x.
解答 解:(Ⅰ)由sinx=0,得x=kπ(k∈Z),…2分
所以,函数f(x)的定义域为{x|x∈R,x≠kπ}(k∈Z).…3分
(Ⅱ)由f(x)=2,得$\frac{{\sqrt{2}sin(x+\frac{π}{4})+\sqrt{2}}}{sinx}=2$
即$\sqrt{2}×(\frac{{\sqrt{2}}}{2}sinx+\frac{{\sqrt{2}}}{2}cosx)+\sqrt{2}=2sinx$,
$sinx-cosx=\sqrt{2}$,…(*) …5分
所以(sinx-cosx)2=2,即sin2x-2sinxcosx+cos2x=2,
所以,sin2x=-1.…8分
由sin2x=-1,得$2x=-\frac{π}{2}+2kπ(k∈Z)$,
则$x=-\frac{π}{4}+kπ(k∈Z)$,…10分
当k=2n-1(n∈Z)时,代入(*),矛盾,舍去;
当k=2n(n∈Z)时,代入(*),成立.
所以,x的取值集合是$\{x|x=-\frac{π}{4}+2nπ\}(n∈Z)$.…13分.
点评 本题考查了三角函数解析式的化简;用到了倍角公式、基本关系式等.
练习册系列答案
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(1)求$\overline{x}$、$\overline{y}$;
(2)画出散点图;
(3)求纯利y与每天销售件数x之间的回归方程.
x | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
y | 66 | 69 | 73 | 81 | 89 | 90 | 91 |
(1)求$\overline{x}$、$\overline{y}$;
(2)画出散点图;
(3)求纯利y与每天销售件数x之间的回归方程.