题目内容
3．已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=2an-2n+1+2．（1）求a1，a2的值；
（2）求证：{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是等差数列，并求an；
（3）令$\frac{1}{{b}_{n}}$=（$\frac{{a}_{n}}{n}$）2，求证：b1+b2+…+bn＜$\frac{1}{3}$．
分析 （1）根据题中给出的设数列{an}的前n项和为Sn，n=1，2，可求a1，a2的值；
（2）再写一式，两式相减，可证明：{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是公差为1的等差数列，将a1=2代入便可求出数列{an}的通项公式；
（3）求出数列{bn}的通项公式，再求和，即可证明结论．
解答 （1）解：由Sn满足Sn=2an-2n+1+2得S1=2a1-21+1+2，∴a1=2，
S2=2a2-22+1+2，∴a2=8；
（2）证明：Sn=2an-2n+1+2，得Sn-1=2an-1-2n+2（n≥2）．
两式相减，得an=2an-2an-1-2n，即an-2an-1=2n（n≥2）．
于是$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$-$\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}$=1，∴数列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是公差为1的等差数列．
又a1=2．
∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=1+（n-1）=n，故an=n•2n．
（3）证明：$\frac{1}{{b}_{n}}$=（$\frac{{a}_{n}}{n}$）2=22n，
∴bn=$\frac{1}{{4}^{n}}$，
∴b1+b2+…+bn=$\frac{\frac{1}{4}（1-\frac{1}{{4}^{n}}）}{1-\frac{1}{4}}$=$\frac{1}{3}（1-\frac{1}{{4}^{n}}）$$＜\frac{1}{3}$．
点评 本题考查数列的综合应用，具体涉及到通项公式的求法、前n项和的求法．解题时要认真审题，注意合理地进行等价转化．
练习册系列答案
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