题目内容
【题目】已知函数f(x)= ﹣
﹣ax(a∈R).
(1)当a= 时,求函数f(x)的单调区间;
(2)若函数f(x)在[﹣1,1]上为单调函数,求实数a的取值范围.
【答案】
(1)解:当a= 时,函数f(x)=
﹣
﹣
x,
∴f′(x)= +
﹣
=
=
,
令f′(x)=0,解得x=0.或x=ln2,
当f′(x)>0时,即x<0,或x>ln2,故函数f(x)单调递增,
当f′(x)<0时,即0<x<ln2,故函数f(x)单调递减,
所以函数f(x)单调增区间为(﹣∞.0)∪(ln2,+∞),单调减区间为(0,ln2)
(2)解:∵f′(x)= +
﹣a,
①若函数f(x)在[﹣1,1]上为单调减函数,
∴f′(x)= +
﹣a≤0,在[﹣1,1]恒成立,
即a≥ +
令g(x)= +
,
则g′(x)= ﹣
=
,
当x∈[﹣1,ln ),g(x)单调递减,x∈(ln
,1]单调递增,
又因为g(1)= ,g(﹣1)=
,
g(1)<g(﹣1),
故g(x)max=g(﹣1)= ,
,
②若函数f(x)在[﹣1,1]上为单调增函数,
∴f′(x)= +
﹣a>0,在[﹣1,1]恒成立,
即a< +
令h(x)= +
,
则h′(x)= ﹣
=
,
当x∈[﹣1,ln ),g(x)单调递减,x∈(ln
,1]单调递增,
故当x=ln ,h(x)有最小值,最小值为h(x)min=h(ln
)=
故a≤ ,
综上所述实数a的取值范围为(﹣∞, ]∪[
,+∞)
【解析】(1)先求导,再根据导数求出函数的单调区间;(2)需要分两类,函数f(x)在[﹣1,1]上为单调减函数和函数f(x)在[﹣1,1]上为单调增函数,然后分离参数,根据函数的最值,求出范围即可.
【考点精析】通过灵活运用利用导数研究函数的单调性,掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果
,那么函数
在这个区间单调递增;(2)如果
,那么函数
在这个区间单调递减即可以解答此题.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】如今,中国的“双十一”已经从一个节日变成了全民狂欢的“电商购物日”.某淘宝电商分析近8年“双十一”期间的宣传费用 (单位:万元)和利润
(单位:十万元)之间的关系,得到下列数据:
2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 8 | 9 | 11 | |
1 | 2 | 3 | 3 | 4 | 5 | 6 | 8 |
请回答:
(Ⅰ)请用相关系数说明
与
之间是否存在线性相关关系(当
时,说明
与
之间具有线性相关关系);
(Ⅱ)根据1的判断结果,建立与
之间的回归方程,并预测当
时,对应的利润
为多少(
精确到
).
附参考公式:回归方程中中
和
最小二乘估计分别为
,
,
相关系数.
参考数据: .