题目内容
【题目】已知定义在上的函数
.
求函数
的单调减区间;
Ⅱ
若关于
的方程
有两个不同的解,求实数
的取值范围.
【答案】时,
的单调减区间为
;当
时,函数
的单调减区间为
;当
时,
的单调减区间为
;
Ⅱ
.
【解析】
分三种情况讨论,根据一次函数的单调性、二次函数图象的开口方向,可得不同情况下函数
的单调减区间;
Ⅱ
若关于
的方程
有两个不同的解,等价于
有两个不同的解,令
利用导数研究函数的单调性,结合极限思想,分析函数的单调性与最值,根据数形结合思想,可得实数
的取值范围.
当
时,
,
函数的单调减区间为
;
当时,
的图象开口朝上,且以直线
为对称轴,
函数的单调减区间为
.
当时,
的图象开口朝下,且以直线
为对称轴,
函数的单调减区间为
;
Ⅱ
若关于x的方程
有两个不同的解,
即有两个不同的解,
令
则
令,则
,解得
,
当时,
,函数
为增函数,
当时,
,函数
为减函数,
故当时,函数
取最大值1,
又由,
故时,
的图象有两个交点,
有两个不同的解,
即时,关于x的方程
有两个不同的解.
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