Question

13．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左焦点为F（-1，0），O为坐标原点，点G（1，$\frac{{\sqrt{2}}}{2}}$）在椭圆上，过点F的直线l交椭圆于不同的两点 A、B．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求弦AB的中点M的轨迹方程；
（3）设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，P为x轴上一点，若PA、PB是菱形的两条邻边，求点P横坐标的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用椭圆的焦点坐标，点的坐标适合方程，求解a，b，即可求出椭圆的方程．
（2）设M（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x=$\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}$，y=$\frac{{{y_1}+{y_2}}}{2}$，当x₁=x₂时，M点的坐标为（-1，0）．当x₁≠x₂时，利用平方差法求解结果即可．
（3）设P（m，0），AB的中点M（a，b），通过|PA|=|PB|，PM⊥AB．推出b²=-a²-a+am+m，然后求解P点的横坐标的取值范围为（-$\frac{1}{2}$，0）．

解答 解：（1）由题意有a²-b²=1，且$\frac{1^2}{a^2}+\frac{{{{（\frac{{\sqrt{2}}}{2}）}^2}}}{b^2}$=1，
解得a²=2，b²=1，
∴椭圆C的方程为$\frac{x^2}{2}+{y^2}$=1．…（2分）
（2）设M（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x=$\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}$，y=$\frac{{{y_1}+{y_2}}}{2}$
当x₁=x₂时，M点的坐标为（-1，0）．
当x₁≠x₂时，
∵$\frac{{{x_1}^2}}{2}+{y_1}$²=1，$\frac{{{x_2}^2}}{2}+{y_2}$²=1，
两式相减得$\frac{{（{x_1}+{x_2}）（x{\;}_1-{x_2}）}}{2}=-（{y_1}+{y_2}）（{y_1}-{y_2}）$，
∴$\frac{2x}{2•2y}=-\frac{{{y_1}-{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}$．
又AB过F点，于是AB的斜率为$\frac{{{y_1}-{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}=\frac{y-0}{x+1}$，
∴$\frac{x}{2y}$=-$\frac{y}{x+1}$，
整理得x²+2y²+x=0．
∵（-1，0）也满足上式，
∴M的轨迹方程为x²+2y²+x=0．…（6分）
（3）设P（m，0），AB的中点M（a，b），
由（2）知，a²+2b²+a=0．①
∵|PA|=|PB|，
∴PM⊥AB．
∴k_AB•k_MP=-1，即$\frac{b}{a+1}•\frac{b}{a-m}$=-1，
整理得b²=-a²-a+am+m，②
将②代入①中，得a²+a-2am-2m=0，
化为 （a+1）（a-2m）=0，
∵a≠-1，
∴m=$\frac{a}{2}$．
由2b²=-a²-a＞0（当b=0时，AB与x轴垂直，不合题意，舍去），得-1＜a＜0，
于是-$\frac{1}{2}$＜m＜0，即P点的横坐标的取值范围为（-$\frac{1}{2}$，0）．…（10分）

点评 本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆方程的求法，在与椭圆的位置关系的应用，考查计算能力．