Question

【题目】已知函数（是自然对数的底数）

判断函数极值点的个数，并说明理由；

若， ，求的取值范围.

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2) .

【解析】试题分析：

求导可得.分类讨论可得：当时， 有1个极值点；当且时， 有2个极值点；当时， 没有极值点.

结合函数的定义域可知，原问题等价于对恒成立.设，则.讨论函数g(x)的最小值.设，结合h(x)的最值可得在上单调递减，在上单调递增， ， 的取值范围是.

试题解析：

.

当时， 在上单调递减，在上单调递增， 有1个极值点；

当时， 在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 有2个极值点；

当时， 在上单调递增， 没有极值点；

当时， 在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 有2个极值点；

当时， 有1个极值点；当且时， 有2个极值点；当时， 没有极值点.

由得.

当时， ，即对恒成立.

设，则.

设，则.

， ，

在上单调递增，

，即，

在上单调递减，在上单调递增，

， ，

的取值范围是.