题目内容
【题目】已知函数.
(1)设是函数
的极值点,求
的值并讨论
的单调性;
(2)当时,证明:
>
.
【答案】(1)函数 在
上单调递减,在
上单调递增.
(2)见解析.
【解析】
试题(1)根据是
的极值点得
,可得导函数值为0,即
,求得
.进一步讨论导函数为正、负的区间,即得解;
(2)可以有两种思路,一种是注意到当,
时,
,
转化成证明当时,
>
.
研究函数当时,
取得最小值且
.
证得,
=
=
.
得证.
第二种思路是:当,
时,
,根据
,转化成
.
构造函数,研究得到函数
在
时取唯一的极小值即最小值为
.达到证明目的.
试题解析:(1),由
是
的极值点得
,
即,所以
. 2分
于是,
,
由知
在
上单调递增,且
,
所以是
的唯一零点. 4分
因此,当时,
;当
时,
,所以,函数
在
上单调递减,在
上单调递增. 6分
(2)解法一:当,
时,
,
故只需证明当时,
>
. 8分
当时,函数
在
上单调递增,
又,
故在
上有唯一实根
,且
. 10分
当时,
;当
时,
,
从而当时,
取得最小值且
.
由得
,
. 12分
故
=
=
.
综上,当时,
. 14分
解法二:当,
时,
,又
,所以
. 8分
取函数,
,当
时,
,
单调递减;当
时,
,
单调递增,得函数
在
时取唯一的极小值即最小值为
. 12分
所以,而上式三个不等号不能同时成立,故
>
. 14分
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