Question

数列{a_n}的前n项和记为S_n，满足sn=

1-an

2

（1）求证：数列{a_n}是等比数列，并求出数列{a_n}的通项公式；
（2）设bn=-

1

(n+1)log3an

求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）根据等比数列的定义即可证明数列{a_n}是等比数列，并求出数列{a_n}的通项公式；
（2）求出数列{b_n}的通项公式，利用裂项法即可求出数列{b_n}的前n项和T_n．

解答：解：（1）∵sn=

1-an

2

，
∴Sn-1=

1-an-1

2

，n≥2，
两式相减得an=

1-an

2

-

1-an-1

2

=

an-1-an

2

，
即2a_n=a_n-1-a_n，3a_n=a_n-1，
∴

an

an-1

=

1

3

，n≥2，
即数列{a_n}是公比q=

1

3

的等比数列，
∵sn=

1-an

2

，
∴当n=1时，a1=

1-a1

2

，
解得a1=

1

3

，
∴数列{a_n}的通项公式an=

1

3

?(

1

3

)n-1=(

1

3

)n；
（2）∵an=

1

3

?(

1

3

)n-1=(

1

3

)n，
∴bn=-

1

(n+1)log3an

=-

1

(n+1)log?3( 1 3 )n

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴T_n=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+???+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

．

点评：本题主要考查等比数列的通项公式和等比数列的判断，要求熟练掌握裂项法求和，考查学生的运算能力．