Question

【题目】已知实数λ＞0，设函数f（x）=eλx﹣x．

（Ⅰ）当λ=1时，求函数f（x）的极值；

（Ⅱ）若对任意x∈（0，+∞），不等式f（x）≥0恒成立，求λ的最小值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）极小值是1；（Ⅱ）

【解析】试题分析： （Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；

（Ⅱ）问题转化为λ≥，令g（x）=，根据函数的单调性求出g（x）的最大值即λ的最小值即可．

试题解析：解：（Ⅰ）λ=1时，函数f（x）=ex﹣x，f′（x）=ex﹣1，

令f′（x）＜0，解得：x＜0，令f′（x）＞0，解得：x＞0，

故f（x）在（﹣∞，0）递减，在（0，+∞）递增，

故f（x）无极大值，只有极小值，且极小值是f（0）=1；

（Ⅱ）x＞0时，f（x）≥0λ≥，

令g（x）=，g′（x）=，

令g′（x）＞0，解得：0＜x＜e，令g′（x）＜0，解得：x＞e，

故g（x）在（0，e）递增，在（e，+∞）递减，

故g（x）最大值=g（e）=，

故λ的最小值是．