题目内容
【题目】已知实数λ>0,设函数f(x)=eλx﹣x.
(Ⅰ)当λ=1时,求函数f(x)的极值;
(Ⅱ)若对任意x∈(0,+∞),不等式f(x)≥0恒成立,求λ的最小值.
【答案】(Ⅰ)极小值是1;(Ⅱ)
【解析】试题分析: (Ⅰ)求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间,从而求出函数的极值即可;
(Ⅱ)问题转化为λ≥,令g(x)=
,根据函数的单调性求出g(x)的最大值即λ的最小值即可.
试题解析:解:(Ⅰ)λ=1时,函数f(x)=ex﹣x,f′(x)=ex﹣1,
令f′(x)<0,解得:x<0,令f′(x)>0,解得:x>0,
故f(x)在(﹣∞,0)递减,在(0,+∞)递增,
故f(x)无极大值,只有极小值,且极小值是f(0)=1;
(Ⅱ)x>0时,f(x)≥0λ≥,
令g(x)=,g′(x)=
,
令g′(x)>0,解得:0<x<e,令g′(x)<0,解得:x>e,
故g(x)在(0,e)递增,在(e,+∞)递减,
故g(x)最大值=g(e)=,
故λ的最小值是.

练习册系列答案
相关题目
【题目】某种零件按质量标准分为1,2,3,4,5五个等级,现从一批该零件巾随机抽取20个,对其等级进行统计分析,得到频率分布表如下
等级 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
频率 | 0.05 | m | 0.15 | 0.35 | n |
(1)在抽取的20个零件中,等级为5的恰有2个,求m,n;
(2)在(1)的条件下,从等级为3和5的所有零件中,任意抽取2个,求抽取的2个零件等级恰好相同的概率.