题目内容
【题目】已知椭圆C：
（
）的离心率为
，过右焦点且垂直于长轴的直线与椭圆C交于P，Q两点，且
.
（1）求椭圆C的方程；
（2）A，B是椭圆C上的两个不同点，若直线
，
的斜率之积为
（以O为坐标原点），M是的中点，连接
并延长交椭圆C于点N，求
的值.
【答案】（1）
；（2）
【解析】
（1）将
代入椭圆方程，可得
，再由
，结合
，解出
，得到椭圆方程.
（2）设
，
，
，
,则
得到
，由
在椭圆上，将坐标代入椭圆方程，得到关于
的方程，从而解出的值，得到答案.
（1）联立
，解得
，故，又，
，联立三式，解得
，
，
.
故椭圆C的方程为.
（2）设，，，，
∵M是
的中点，
，
，
.
又
，
，即，
∵点在椭圆C上，
，
即
.（*）
∵，在椭圆C上，
，①
②
又直线，
斜率之积为
，
，即
，③
将①②③代入（*）得
，解得
所以
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