题目内容
【题目】已知函数
有如下性质：如果常数
，那么该函数在
上是减函数，在
上是增函数．
（1）已知
，利用上述性质，求函数
的单调区间和值域；
（2）对于（1）中的函数
和函数
，若对任意
，总存在
，使得
成立，求实数
的值．
【答案】（1）减区间为
，增区间为
，值域
；（2）
．
【解析】
试题分析：（1）化简
，设
，运用形式，即可求得函数的单调区间及值域；（2）求得
的值域，由题意得
的值域是值域的子集，得到不等式组，即可求解实数
的取值范围．
试题解析：（1）
，．．．．．．．．．．．．．．．．2分
设，
则
．．．．．．．．．．．．．4分
由已知性质得，当
，即
时，
单调递减；
所以减区间为；
当
，即
时，
单调递增；
所以增区间为；．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
由
，
得
的值域为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
（2）
为减函数，
故
，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
由题意，
的值域是
的值域的子集，．．．．．．．．．．．．．11分
∴
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．13分
∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．14分
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