题目内容
【题目】已知是圆
上的一个动点,过点
作两条直线
,它们与椭圆
都只有一个公共点,且分别交圆于点
.
(Ⅰ)若,求直线
的方程;
(Ⅱ)①求证:对于圆上的任意点,都有
成立;
②求面积的取值范围.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)①证明见解析;②
.
【解析】
(Ⅰ)设出直线方程,代入椭圆方程,利用直线与椭圆都只有一个公共点,求出直线的斜率,即可求直线
的方程;(Ⅱ)①分类讨论,斜率不存在时成立,斜率存在时,利用判别式等于零可得关于
的一元二次方程,由韦达定理可得
成立,即可证得结论;②记原点到直线
的距离分别为
,可得
,设
面积为
,可得
,利用二次函数的性质可求其取值范围.
(Ⅰ)设直线的方程为,
代入椭圆,消去
,
可得,
由,可得
,
设的斜率分别为
,
直线
的方程分别为
;
(Ⅱ)①证明:当直线的斜率有一条不存在时,不妨设
无斜率
与椭圆只有一个公共点,所以其方程为
,
当的方程为
时,此时
与圆的交点坐标为
,
的方程为
(或
,
成立,
同理可证,当的方程为
时,结论成立;
当直线的斜率都存在时,设点
且
,
设方程为,代入椭圆方程,
可得,
由化简整理得
,
,
,
设的斜率分别为
,
成立,
综上,对于圆上的任意点,都有
成立;
②记原点到直线的距离分别为
,
因为,所以
是圆的直径,
所以,
面积为
,
,
,
.
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