Question

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，该双曲线与抛物线y²=16x的准线交于A，B两点，若|AB|=6

5

，则双曲线的方程为（　　）

A．x2- y2 3 =1

B． x2 2 - y2 6 =1

C． x2 3 -y2=1

D． x2 4 - y2 12 =1

Answer 1

∵抛物线y²=16x，2p=16，p=8，∴

p

2

=4．
∴抛物线的准线方程为x=-4．
设双曲线与抛物线的准线x=-4的两个交点A（-4，y），B（-4，-y）（y＞0），
则|AB|=|y-（-y）|=2y=6

5

，∴y=3

5

．
将x=-4，y=3

5

．
代入双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1，得

16

a2

-

45

b2

=1，①
又双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，∴

c

a

=2，
即

a2+b2

a2

=4，b²=3a²②
由①②得a²=1，b²=3，
∴双曲线C的方程为x2-

y2

3

=1，
故选A．