Question

对定义在上，并且同时满足以下两个条件的函数称为函数。
①对任意的，总有；
②当时，总有成立。
已知函数与是定义在上的函数。
（1）试问函数是否为函数？并说明理由；
（2）若函数是函数，求实数的值；
（3）在（2）的条件下，讨论方程解的个数情况。

Answer 1

(1)函数是函数,(2) (3)

解析试题分析：
（1）根据函数的定义，验证函数的两个条件，即可判断；
（2）根据因为函数是函数，利用函数的两个条件，即可求得实数的值；
（3）根据（2）知，原方程可以化为，再利用换元法，即可求实数的取值范围．
对考查新定义的题要与熟悉的已知函数性质比较,参考其性质及运算特征进行计算，对新定义熟悉性质后求参数的取值，把方程解的情况转化成求值域，利用换元法、配方法求函数的值域；解题的关键是正确理解新定义．
试题解析：
（1）当时，总有满足①
当时
满足②
所以函数是函数.
（2）
Ⅰ当时，不满足①，所以不是是函数
Ⅱ当时，在上是增函数,则,满足①
由,得
即
因为
所以，与不同时等于1
所以
所以
当时, 即于是
综上所述:
(3) 根据（2）知，原方程可以化为
由得
令,则在单调递增且值域为
所以，当时，方程有一解
当时方程无解
考点：函数恒成立问题．