题目内容
【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
设函数,
.
(Ⅰ)当时,求函数
的极小值;
(Ⅱ)讨论函数零点的个数;
(Ⅲ)若对任意的,
恒成立,求
的取值范围.
【答案】(1)极小值为2.(2)见解析(3)
【解析】试题分析:(Ⅰ) 时,
,利用
判定
的增减性并求出
的极小值;(Ⅱ)由函数
,令
,求出
;设
,求出
的值域,讨论
的取值,对应
的零点情况;(Ⅲ)由
恒成立,等价于
恒成立;即
在
上单调递减,
,求出
的取值范围.
试题解析:(Ⅰ)由题设,当时,
,易得函数
的定义域为
,
.∴当
时,
,
在
上单调递减;
∴当时,
,
在
上单调递增;所以当
时,
取得极小值
,所以
的极小值为2.
(Ⅱ)函数,令
,得
.
设,则
.
∴当时,
,
在(0,1)上单调递增;
∴当时,
,
在
上单调递减;
所以的最大值为
,又
,可知:
①当时,函数
没有零点;
②当时,函数
有且仅有1个零点;
③当时,函数
有2个零点;
④当时,函数
有且只有1个零点.
综上所述:
当时,函数
没有零点;当
或
时,函数
有且仅有1个零点;当
时,函数
有2个零点.
(Ⅲ)对任意,
恒成立,等价于
恒成立.
.
设,∴
等价于
在
上单调递减.
∴在
上恒成立,
∴恒成立,
∴(对
,
仅在
时成立).
∴的取值范围是
.
【方法点晴】本题主要考查利用导数求函数的最值以及不等式恒成立问题,属于难题.不等式恒成立问题常见方法:① 分离参数恒成立(
可)或
恒成立(
即可);② 数形结合(
图象在
上方即可);③ 讨论最值
或
恒成立;④ 讨论参数.本题(Ⅲ)是利用方法 ① 求得
的范围.
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