题目内容

16.已知Sn=${∫}_{0}^{n}$(x2+2x+$\frac{2}{3}$)dx是数列{an}的前n项和,求数列{an}的通项公式.

分析 由定积分可得Sn=${∫}_{0}^{n}$(x2+2x+$\frac{2}{3}$)dx=$\frac{1}{3}$n3+n2+$\frac{2}{3}$n;再由an=$\left\{\begin{array}{l}{{S}_{1},n=1}\\{{S}_{n}-{S}_{n-1},n≥2}\end{array}\right.$求解即可.

解答 解:由题意,Sn=${∫}_{0}^{n}$(x2+2x+$\frac{2}{3}$)dx=$\frac{1}{3}$n3+n2+$\frac{2}{3}$n;
①当n=1时,a1=S1=$\frac{1}{3}$+1+$\frac{2}{3}$=2,
②当n≥2时,an=Sn-Sn-1
=$\frac{1}{3}$n3+n2+$\frac{2}{3}$n-($\frac{1}{3}$(n-1)3+(n-1)2+$\frac{2}{3}$(n-1))
=n2+n;
a1=2也满足上式;
故an=n2+n.

点评 本题考查了函数的定积分的求法及数列的通项公式的求法,属于基础题.

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