题目内容

5.设常数a>0,若函数f(x)=x+$\frac{a}{x-1}$(x>1)的最小值为3,则a的值为1.

分析 函数f(x)=x+$\frac{a}{x-1}$=(x-1)+$\frac{a}{x-1}$+1(a>0,x>1),再由基本不等式可得最小值,注意等号成立的条件.

解答 解:函数f(x)=x+$\frac{a}{x-1}$=(x-1)+$\frac{a}{x-1}$+1(a>0,x>1)
≥2$\sqrt{(x-1)•\frac{a}{x-1}}$+1=2$\sqrt{a}$+1.
当且仅当x-1=$\frac{a}{x-1}$,即为x=1+$\sqrt{a}$时,
f(x)取得最小值,且为1+2$\sqrt{a}$,
由1+2$\sqrt{a}$=3,解得a=1.
故答案为:1.

点评 本题考查函数的最小值的求法,主要考查基本不等式的运用,注意等号取得的条件,属于基础题.

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