Question

5．设常数a＞0，若函数f（x）=x+$\frac{a}{x-1}$（x＞1）的最小值为3，则a的值为1．

Answer 1

分析 函数f（x）=x+$\frac{a}{x-1}$=（x-1）+$\frac{a}{x-1}$+1（a＞0，x＞1），再由基本不等式可得最小值，注意等号成立的条件．

解答 解：函数f（x）=x+$\frac{a}{x-1}$=（x-1）+$\frac{a}{x-1}$+1（a＞0，x＞1）
≥2$\sqrt{（x-1）•\frac{a}{x-1}}$+1=2$\sqrt{a}$+1．
当且仅当x-1=$\frac{a}{x-1}$，即为x=1+$\sqrt{a}$时，
f（x）取得最小值，且为1+2$\sqrt{a}$，
由1+2$\sqrt{a}$=3，解得a=1．
故答案为：1．

点评 本题考查函数的最小值的求法，主要考查基本不等式的运用，注意等号取得的条件，属于基础题．