Question

【题目】已知定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数f（x）满足f（2）=0，且在（﹣∞，0）上是增函数；又定义行列式=a1a4﹣a2a3； 函数g（θ）=（其中0≤θ≤）．
（1）证明：函数f（x）在（0，+∞）上也是增函数；
（2）若函数g（θ）的最大值为4，求m的值；
（3）若记集合M={m|任意的0≤θ≤ ， g（θ）＞0}，N={m|任意的0≤θ≤ ， f[g（θ）]＜0}，求M∩N．

Answer 1

【答案】证明：（1）在（0，+∞）上任取x1 ， x2 ， 令x1＜x2 ，
∵定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数f（x）满足f（2）=0，且在（﹣∞，0）上是增函数，
∴f（x1）﹣f（x2）=﹣f（﹣x1）+f（﹣x2）=f（﹣x2）﹣f（﹣x1）＜0，
∴函数f（x）在（0，+∞）上也是增函数．
解：（2）g（θ）=
=sin2θ+mcosθ﹣3m
=1﹣cos2θ+mcosθ﹣3m，
=﹣（cosθ﹣）2+，
∵函数g（θ）的最大值为4，f（x）在（﹣∞，0）上是增函数，又f（x）是奇函数，
∴f（x）在（0，+∞）也是增函数，
∵θ∈[0，]，∴cosθ∈[0，1]，
g（θ）的最大值只可能在cosθ=0（），cosθ=1（），cosθ=（0＜）处取得，
若cosθ=0，g（θ）=4，则有1﹣3m=4，m=﹣1，此时=-，符合；
若cosθ=1，g（θ）=4，则有﹣2m=4，m=﹣2，此时=-1，不符合；
若cosθ=，g（θ）=4，则有=4，m=6+4或m=6﹣4，此时=3+2或m=3﹣2，不符合；
综上，m=﹣1．
（3）∵f（x）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，且满足f（2）=0，∴f（﹣2）=0，
又f（x）在（﹣∞，0），（0，+∞）上均是增函数，
由f[g（θ）]＜0，得g（θ）＜﹣2，或2＞g（θ）＞0，
又M={m|恒有g（θ）＞0}，N={m|恒有f[g（θ）]＜0}={m|恒有g（θ）＜﹣2，或2＞g（θ）＞0}，
∴M∩N={m|恒有0＜g（θ）＜2}，即不等式0＜﹣cos2θ+mcosθ﹣3m+1＜2在θ∈[0，]恒成立，
当m＞=
=﹣（3﹣cosθ）﹣（）+6=﹣[（3﹣cosθ）+（）]+6，
∵θ∈[0，]，∴cosθ∈[0，1]，3﹣cosθ∈[2，3]，
∴7≥（3﹣cosθ）+（），﹣[（3﹣cosθ）+（）]+6∈[﹣1，﹣]，
此时，m＞﹣；
=﹣（3﹣cosθ）﹣（）+6=﹣[（3﹣cosθ）+（）]+6，
∵θ∈[0，]，∴cosθ∈[0，1]，3﹣cosθ∈[2，3]，
∴7≥（3﹣cosθ）+（），﹣[（3﹣cosθ）+（）]+6∈[﹣1，﹣]，
此时，m＞﹣．
当m＜=
=﹣（3﹣cosθ）﹣（）+6
=﹣[（3﹣cosθ）+（）]+6，
∴6≥（3﹣cosθ）+（），﹣[（3﹣cosθ）+（）]+6∈[0，6﹣4]，
此时，m＜0；
综上，m∈（﹣，0）．
∴M∩N=（﹣，0）．
【解析】（1）利用定义法能证明函数f（x）在（0，+∞）上也是增函数．
（2）由已知可判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，由定义表示出g（θ），根据二次函数的性质分类讨论可表示出其最大值，令其为4可求m值；
（3）由f[g（θ）]＜0，得g（θ）＜﹣2，或2＞g（θ）＞0，则M={m|恒有g（θ）＞0}，N={m|恒有f[g（θ）]＜0}={m|恒有g（θ）＜﹣2，或2＞g（θ）＞0}，从而M∩N={m|恒有0＜g（θ）＜2}，转化为不等式0＜﹣cos2θ+mcosθ﹣3m+1＜2在θ∈[0，]恒成立，分离出参数m后，转化为求函数的最值即可，变形后借助“对勾函数”的性质可求得最值；