题目内容
【题目】已知椭圆的左顶点为A,右焦点为F,过点F的直线交椭圆于B,C两点.
(1)求该椭圆的离心率;
(2)设直线AB和AC分别与直线x=4交于点M,N,问:x轴上是否存在定点P使得MP⊥NP?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.
【答案】(1)(2)存在定点P(1,0)或P(7,0),
【解析】试题分析:(1)由椭圆方程分别求出a,b,c的值,求出离心率;(2)假设在x轴上存在点p,设直线BC的方程为,B(x1,y1),C(x2,y2),
联立直线和椭圆方程,利用韦达定理求出的表达式,求出M,N的坐标,由MP⊥NP,求出P点的坐标,即得出定点。
试题解析: (1)由椭圆方程可得a=2,b=,从而椭圆的半焦距c=
=1.
所以椭圆的离心率为e==
.
(2)依题意,直线BC的斜率不为0,
设其方程为x=ty+1.
将其代入+
=1,整理得(4+3t2)y2+6ty-9=0.
设B(x1,y1),C(x2,y2),
所以y1+y2=,y1y2=
.
易知直线AB的方程是y= (x+2),
从而可得M(4,),同理可得N(4,
).
假设x轴上存在定点P(p,0)使得MP⊥NP,则有·
=0.
所以(p-4)2+=0.
将x1=ty1+1,x2=ty2+1代入上式,整理得
(p-4)2+=0,
所以(p-4)2+=0,
即(p-4)2-9=0,解得p=1或p=7.
所以x轴上存在定点P(1,0)或P(7,0),使得MP⊥NP.
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