Question

设x，y∈R，i，j为直角坐标平面内x，y轴正方向上的单位向量，若向量，b＝xi＋(y－2)j，且|a|＋|b|＝8．

   （1）求点M（x，y）的轨迹C的方程；

 （2）过点（0，3）作直线l与曲线C交于A、B两点，设是否存在这样的直线l，使得四边形OAPB为矩形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，试说明理由．

Answer 1

见解析

解析:

解：（1）∵a＝xi＋(y＋2)j，b＝xi＋(y－2)j，且|a|＋|b|＝8 ∴点M（x，y）到两个定点F₁（0，－2），F₂（0，2）的距离之和为8 ∴点M的轨迹C为F₁、F₂为焦点的椭圆，其方程为

（2）∵l过y轴上的点（0，3），若直线l是y轴，则A、B两点是椭圆的顶点，这时。

∴P与O重合，与四边形OAPB是矩形矛盾，

∴直线l的斜率存在，设l的方程为y＝kx＋3，A（x₁，y₁），B(x₂，y₂)

由恒成立．

且

∵，∴四边形OAPB是平行四边形

若存在直线l使得四边形OAPB是矩形，则OA⊥OB，即

∵

即∴存在直线使得四边形OAPB为矩形．