题目内容
设x，y∈R，| i |
| j |
| a |
| i |
| j |
| b |
| i |
| j |
| a |
| b |
（Ⅰ）求动点M（x，y）的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设曲线C上两点AB，满足（1）直线AB过点（0，3），（2）若
| OP |
| OA |
| OB |
分析：（Ⅰ）先令M（x，y），F1（0，-2），F2（0，2），把|
|+|
|转化为|
|+|
|，再利用|
|+|
|=8即可知道动点M（x，y）的满足椭圆定义，进而求出轨迹C的方程；
（Ⅱ）先把直线方程和椭圆方程联立，求出关于点A和点B的坐标的方程①，在利用OAPB为矩形转化为OA⊥OB既为
•
=0．把①式代入就可求直线AB的方程．
| a |
| b |
| F1M |
| F2M |
| a |
| b |
（Ⅱ）先把直线方程和椭圆方程联立，求出关于点A和点B的坐标的方程①，在利用OAPB为矩形转化为OA⊥OB既为
| OA |
| OB |
解答：解：（Ⅰ）令M（x，y），F1（0，-2），F2（0，2）
则
=
，
=
即|
|+|
|=|
|+|
|
即|
|+|
|=8
又∵|
|=4=2C
∴c=2，a=4，b2=12（3分）
所求轨迹方程为
+
=1（6分）
（Ⅱ）由条件（2）可知OAB不共线，故直线AB的斜率存在
设AB方程为y=kx+3，A（x1，y1），B（x2，y2）
则
?（3k2+4）x2+18kx-21=0（8分）
x1+x2=-
，x1•x2=-
y1•y2=（kx1+3）•（kx2+3）=k2x1•x2+3k（x1+x2）+9=
∵OAPB为矩形，∴OA⊥OB?
•
=0（10分）
∴x1•x2+y1•y2=0得k=±
所求直线方程为y=±
x+3（12分）
则
| a |
| F1M |
| b |
| F2M |
即|
| a |
| b |
| F1M |
| F2M |
即|
| F1M |
| F2M |
又∵|
| F1F2 |
∴c=2，a=4，b2=12（3分）
所求轨迹方程为
| y2 |
| 16 |
| x2 |
| 12 |
（Ⅱ）由条件（2）可知OAB不共线，故直线AB的斜率存在
设AB方程为y=kx+3，A（x1，y1），B（x2，y2）
则
|
x1+x2=-
| 18k |
| 3k2+4 |
| -21 |
| 3k2+4 |
y1•y2=（kx1+3）•（kx2+3）=k2x1•x2+3k（x1+x2）+9=
| 36-48k2 |
| 3k2+4 |
∵OAPB为矩形，∴OA⊥OB?
| OA |
| OB |
∴x1•x2+y1•y2=0得k=±
| ||
| 4 |
所求直线方程为y=±
| ||
| 4 |
点评：本题综合考查了直线与椭圆的位置关系以及向量垂直问题．在研究直线和圆锥曲线问题时，通常把直线方程和圆锥曲线方程联立，找到关于二者交点坐标的方程，再代入已知条件解题．
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