题目内容

设x,y∈R,
i
j
为直角坐标平面内x轴y轴正方向上的单位向量,若
a
=x
i
+(y+2)
j
b
=x
i
+(y-2)
j
,且|
a
|+|
b
|=8
(Ⅰ)求动点M(x,y)的轨迹C的方程;
(Ⅱ)设曲线C上两点AB,满足(1)直线AB过点(0,3),(2)若
OP
=
OA
+
OB
,则OAPB为矩形,试求AB方程.
分析:(Ⅰ)先令M(x,y),F1(0,-2),F2(0,2),把|
a
|+|
b
|转化为|
F1M
|+|
F2M
|,再利用|
a
|+|
b
|=8即可知道动点M(x,y)的满足椭圆定义,进而求出轨迹C的方程;
(Ⅱ)先把直线方程和椭圆方程联立,求出关于点A和点B的坐标的方程①,在利用OAPB为矩形转化为OA⊥OB既为
OA
OB
=0.把①式代入就可求直线AB的方程.
解答:解:(Ⅰ)令M(x,y),F1(0,-2),F2(0,2)
a
=
F1M
b
=
F2M

即|
a
|+|
b
|=|
F1M
|+|
F2M
|
即|
F1M
|+|
F2M
|=8
又∵|
F1F2
|=4=2C
∴c=2,a=4,b2=12(3分)
所求轨迹方程为
y2
16
+
x2
12
=1(6分)
(Ⅱ)由条件(2)可知OAB不共线,故直线AB的斜率存在
设AB方程为y=kx+3,A(x1,y1),B(x2,y2
y=kx+3
y2
16
+
x2
9
=1
?(3k2+4)x2+18kx-21=0(8分)
x1+x2=-
18k
3k2+4
,x1•x2=-
-21
3k2+4

y1•y2=(kx1+3)•(kx2+3)=k2x1•x2+3k(x1+x2)+9=
36-48k2
3k2+4

∵OAPB为矩形,∴OA⊥OB?
OA
OB
=0(10分)
∴x1•x2+y1•y2=0得k=±
5
4

所求直线方程为y=±
5
4
x+3(12分)
点评:本题综合考查了直线与椭圆的位置关系以及向量垂直问题.在研究直线和圆锥曲线问题时,通常把直线方程和圆锥曲线方程联立,找到关于二者交点坐标的方程,再代入已知条件解题.
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