题目内容
（2012•西山区模拟）设x，y∈R，
，
为直角坐标平面内x，y轴正方向上单位向量，若向量
=(x+
)
+y
，
=(x-
)
+y
，且|
|+|
|=2
．
（1）求点M（x，y）的轨迹C的方程；
（2）若直线L与曲线C交于A、B两点，若
•
=0，求证直线L与某个定圆E相切，并求出定圆E的方程．
| i |
| j |
| a |
| 3 |
| i |
| j |
| b |
| 3 |
| i |
| j |
| a |
| b |
| 6 |
（1）求点M（x，y）的轨迹C的方程；
（2）若直线L与曲线C交于A、B两点，若
| OA |
| OB |
分析：（1）由题意，可得点M（x，y）到两个定点F1（-
，0），F2（
，0）的距离之和为2
，从而点M的轨迹C是以F1、F2为焦点的椭圆，故可得方程；
（2）当直线的斜率存在时，设直线为y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理及x1•x2+y1•y2=0，可得直线L与圆x2+y2=2相切；当直线的斜率不存在时，可得直线为x=±
，与圆x2+y2=2相切．
| 3 |
| 3 |
| 6 |
（2）当直线的斜率存在时，设直线为y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理及x1•x2+y1•y2=0，可得直线L与圆x2+y2=2相切；当直线的斜率不存在时，可得直线为x=±
| 2 |
解答：（1）解：∵
=(x+
)
+y
，
=(x-
)
+y
，且|
|+|
|=2
．
∴点M（x，y）到两个定点F1（-
，0），F2（
，0）的距离之和为2
∴点M的轨迹C是以F1、F2为焦点的椭圆，其方程为
+
=1（5分）
（2）证明：当直线的斜率存在时，设直线为y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），
联立直线与椭圆的方程，得
消去y并整理得（1+2k2）x2+4kmx+2m2-6=0．
因为直线与椭圆有两个不同的交点，所以16k2m2-4（1+2k2）（2m2-6）＞0，所以m2＜6k2+3（﹡）
x1+x2=
，x1•x2=
（7分）
y1•y2=（kx1+m）（kx2+m）=
∵
•
=0，∴x1•x2+y1•y2=0
∴
+
=0
∴m2=2k2+2满足（﹡）式，并且
=
，即原点到直线L的距离是
，
∴直线L与圆x2+y2=2相切．（10分）
当直线的斜率不存在时，直线为x=m，
∴A（m，
），B（m，-
），
∵
•
=0，∴x1•x2+y1•y2=0
∴m2-3+
=0，m=±
，直线L的方程是x=±
，
∴直线L与圆x2+y2=2相切．
综合之得：直线L与圆x2+y2=2相切．（12分）
| a |
| 3 |
| i |
| j |
| b |
| 3 |
| i |
| j |
| a |
| b |
| 6 |
∴点M（x，y）到两个定点F1（-
| 3 |
| 3 |
| 6 |
∴点M的轨迹C是以F1、F2为焦点的椭圆，其方程为
| x2 |
| 6 |
| y2 |
| 3 |
（2）证明：当直线的斜率存在时，设直线为y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），
联立直线与椭圆的方程，得
|
消去y并整理得（1+2k2）x2+4kmx+2m2-6=0．
因为直线与椭圆有两个不同的交点，所以16k2m2-4（1+2k2）（2m2-6）＞0，所以m2＜6k2+3（﹡）
x1+x2=
| -4km |
| 1+2k2 |
| 2m2-6 |
| 1+2k2 |
y1•y2=（kx1+m）（kx2+m）=
| m2-6k2 |
| 1+2k2 |
∵
| OA |
| OB |
∴
| 2m2-6 |
| 1+2k2 |
| m2-6k2 |
| 1+2k2 |
∴m2=2k2+2满足（﹡）式，并且
| |m| | ||
|
| 2 |
| 2 |
∴直线L与圆x2+y2=2相切．（10分）
当直线的斜率不存在时，直线为x=m，
∴A（m，
|
|
∵
| OA |
| OB |
∴m2-3+
| m2 |
| 2 |
| 2 |
| 2 |
∴直线L与圆x2+y2=2相切．
综合之得：直线L与圆x2+y2=2相切．（12分）
点评：本题考查向量知识的运用，考查椭圆的定义与标准方程，考查直线与圆、椭圆的位置关系，正确运用向量条件是关键．
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