题目内容
设x，y∈R，i，j为直角坐标平面内x，y轴正方向上的单位向量，若a=（x+1）i+yj，b=（x-1）i+yj，|a|+|b|=4．（I）求点M（x，y）的轨迹C的方程；
（II）过点（0，m）作直线l与曲线C交于A，B两点，若|
| OA |
| OB |
| OA |
| OB |
分析：（1）将两向量的模用坐标表示出来，探究发现点M到两个定点之间的距离和为4，符合椭圆的定义．用定义法写出其标准方程即可．
（2）由|
+
|=|
-
知以
，
为邻边的四边形是矩形．故可得∵
⊥
，将此关系转移成用坐标表示的方程，将此方程转化成关于m的不等式，即可解出m的取值范围．
（2）由|
| OA |
| OB |
| OA |
| OB |
| OA |
| OB |
| OA |
| OB |
解答：解：（I）∵a=（x+1）i+yj，b=（x-1）i+yj
又|a|+|b|=4
∴
+
=4
∴点M（x，y）的轨迹C是以（-1，0）、（1，0）为焦点，长轴长为4的椭圆，故椭圆方程为
+
=1（5分）
（II）若|
+
|=|
-
|，，则以
，
为邻边的平行四边形是矩形
设直线l的方程为y=kx+m，l与C的交点A（x1，y1）、B（x2，y2）
∵
⊥
∴x1x2+y1y2=0 （*）
由
得（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0
∵x1+x2=-
，x1x2=
①
y1y2=k2x1x2+km（x1+x2）+m2
∴y1y2=
②
将①②代入（*）得7m2-12-12k2=0
∵12k2=7m2-12，k2≥0
∴7m2-12≥0
∴m2≥
③
又△＞0，得12k2-3m2+9＞0
∴7m2-12-3m2+9＞0
∴m2＞
④
由③④得m2≥
∴m≤-
或m≥
（13分）
又|a|+|b|=4
∴
| (x+1)2+y2 |
| (x-1)2+y2 |
∴点M（x，y）的轨迹C是以（-1，0）、（1，0）为焦点，长轴长为4的椭圆，故椭圆方程为
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
（II）若|
| OA |
| OB |
| OA |
| OB |
| OA |
| OB |
设直线l的方程为y=kx+m，l与C的交点A（x1，y1）、B（x2，y2）
∵
| OA |
| OB |
由
|
得（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0
∵x1+x2=-
| 8km |
| 3+4k2 |
| 4m2-12 |
| 3+4k2 |
y1y2=k2x1x2+km（x1+x2）+m2
∴y1y2=
| 3m2-12k2 |
| 3+4k2 |
将①②代入（*）得7m2-12-12k2=0
∵12k2=7m2-12，k2≥0
∴7m2-12≥0
∴m2≥
| 12 |
| 7 |
又△＞0，得12k2-3m2+9＞0
∴7m2-12-3m2+9＞0
∴m2＞
| 3 |
| 4 |
由③④得m2≥
| 12 |
| 7 |
∴m≤-
2
| ||
| 7 |
2
| ||
| 7 |
点评：本题考查向量与圆锥曲线相接合的题，其特征一般是用向量的方法来给出题设条件，然后再利用圆锥曲线的相关知识来时行计算，此类题一般运算量较大，符号运算对，题目难度较大．
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