题目内容
已知函数y=f(x),x∈R,有下列4个命题:
①若f(1+2x)=f(1-2x),则y=f(x)的图象关于直线x=1对称;
②y=f(x-2)与y=f(2-x)的图象关于直线x=2对称;
③若y=f(x)为偶函数,且y=f(2+x)=-f(x),则y=f(x)的图象关于直线x=2对称;
④若y=f(x)为奇函数,且f(x)=f(-x-2),则y=f(x)的图象关于直线x=1对称.
其中正确命题的个数为( )
①若f(1+2x)=f(1-2x),则y=f(x)的图象关于直线x=1对称;
②y=f(x-2)与y=f(2-x)的图象关于直线x=2对称;
③若y=f(x)为偶函数,且y=f(2+x)=-f(x),则y=f(x)的图象关于直线x=2对称;
④若y=f(x)为奇函数,且f(x)=f(-x-2),则y=f(x)的图象关于直线x=1对称.
其中正确命题的个数为( )
分析:①先用换元法将f(1+2x)=f(1-2x)转化,再由转化后的形式判断对称轴的方程.
②y=f(x-2)与y=f(2-x)的图象关于直线x=2对称可转化为证明y=f(x)与y=f(-x)的图象关于直线x=0对称的问题,再结合图象的平移知识进行判断.
③用-x换x,由题设条件和偶函数的性质得,f(2-x)=-f(-x)=-f(x)=f(2+x),故f(x)的图象关于直线x=2对称.
④用-x换x,由题设条件和奇函数的性质得,f(-x)=f(x-2),故y=f(x)的图象关于直线x=-1对称.
②y=f(x-2)与y=f(2-x)的图象关于直线x=2对称可转化为证明y=f(x)与y=f(-x)的图象关于直线x=0对称的问题,再结合图象的平移知识进行判断.
③用-x换x,由题设条件和偶函数的性质得,f(2-x)=-f(-x)=-f(x)=f(2+x),故f(x)的图象关于直线x=2对称.
④用-x换x,由题设条件和奇函数的性质得,f(-x)=f(x-2),故y=f(x)的图象关于直线x=-1对称.
解答:解:①令t=1+2x,可得2x=t-1,代入f(1+2x)=f(1-2x)得f(t )=f(2-t)
由于|t-1|=|2-t-1|,故可知函数y=f(x)图象关于直线x=1对称
即y=f(x)的图象关于直线x=1对称,故①是真命题.
②由题设知y=f(2-x)=f[-(x-2)],由于函数y=f(x)与y=f(-x)的图象关于直线x=0对称,∴y=f(x-2)与y=f(2-x)的图象关于直线x=0对称,故②是假命题.
③f(x)为偶函数,且f(2+x)=-f(x),用-x换x得,f(2-x)=-f(-x)=-f(x)=f(2+x)
∴f(x)的图象关于直线x=2对称,故③是真命题.
④∵y=f(x)为奇函数,且f(x)=f(-x-2),用-x换x得,f(-x)=f(x-2),
∴y=f(x)的图象关于直线x=-1对称,因为函数=f(x)为奇函数,所以根据奇函数的对称性可知函数关于x=1也对称,故④是真命题.
故选C.
由于|t-1|=|2-t-1|,故可知函数y=f(x)图象关于直线x=1对称
即y=f(x)的图象关于直线x=1对称,故①是真命题.
②由题设知y=f(2-x)=f[-(x-2)],由于函数y=f(x)与y=f(-x)的图象关于直线x=0对称,∴y=f(x-2)与y=f(2-x)的图象关于直线x=0对称,故②是假命题.
③f(x)为偶函数,且f(2+x)=-f(x),用-x换x得,f(2-x)=-f(-x)=-f(x)=f(2+x)
∴f(x)的图象关于直线x=2对称,故③是真命题.
④∵y=f(x)为奇函数,且f(x)=f(-x-2),用-x换x得,f(-x)=f(x-2),
∴y=f(x)的图象关于直线x=-1对称,因为函数=f(x)为奇函数,所以根据奇函数的对称性可知函数关于x=1也对称,故④是真命题.
故选C.
点评:本题考查命题的真假判断与应用,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答,注意函数的对称性、平移变换、奇偶性的合理运用.
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