题目内容
【题目】已知椭圆
的离心率为
，且过点
.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）点P是椭圆上异于短轴端点A，B的任意一点，过点P作
轴于Q，线段PQ的中点为M.直线AM与直线
交于点N，D为线段BN的中点，设O为坐标原点，试判断以OD为直径的圆与点M的位置关系.
【答案】（1）
（2）点
在以
为直径的圆上
【解析】
（1）根据题意列出关于
，
，
的方程组，解出，，的值，即可得到椭圆
的标准方程；
（2）设点
，
，则
，，求出直线
的方程，进而求出点
的坐标，再利用中点坐标公式得到点
的坐标，下面结合点
在椭圆上证出
，所以点在以为直径的圆上．
（1）由题意可知，
，解得
，
椭圆的标准方程为：.
（2）设点，，则，，
直线的斜率为
，
直线的方程为：
，
令
得，
，
点的坐标为
，
，
点的坐标为
，，
，
，
又
点，在椭圆上，
，
，
，
点在以为直径的圆上．
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