题目内容
【题目】(1)集合,
或
,对于任意
,定义
,对任意
,定义
,记
为集合
的元素个数,求
的值;
(2)在等差数列和等比数列
中,
,
,是否存在正整数
,使得数列
的所有项都在数列
中,若存在,求出所有的
,若不存在,说明理由;
(3)已知当时,有
,根据此信息,若对任意
,都有
,求
的值.
【答案】(1),
;(2)
为正偶数;(3)
;
【解析】
(1)由题意得:集合表示方程
解的集合,由于
或
,即可得到集合
的元素个数
;利用倒序相加法及
,即可得到答案;
(2)假设存在,对
分奇数和偶数两种情况进行讨论;
(3)利用类比推理和分类计数原理可得的值.
(1)由题意得:集合表示方程
解的集合,
由于或
,所以方程
中有
个
,
个
,
从而可得到解的情况共有个,
所以.
令,
所以,
所以,
所以,即
.
(2)当取偶数
时,
中所有项都是
中的项.
由题意:均在数列
中,当
时,
,
说明数列的第
项是数列
中的第
项.
当取奇数
时,因为
不是整数,所以数列
的所有项都不在数列
中.
综上所述:为正偶数.
(3)当时,有
①
当时,
②
又对任意,都有
③
所以即为
的系数,
可取①中、②中的1;或①中
、②中的
;或①中
、②中的
;
或①中的、②中的
;
所以.
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