题目内容
【题目】已知函数
，有如下性质：如果常数
，那么该函数在
上是减函数，在
上是增函数.
（1）已知
，
，利用上述性质，求
的单调区间和值域；
（2）对于（1）中的函数和函数
，若对任意的
，总存在
使得
成立，求实数
的值.
【答案】（1）
的单调递减区间为
，的单调递增区间为
；
；（2）3.
【解析】
（1）先将函数变形为
，根据题目已知条件可得函数的单调区间和值域；
（2）由
求得函数
的值域，由已知得的值域是的值域的子集，建立关于
的不等式，解之可得实数的值.
（1）
，
设
，∵
，∴
，由
，可得
当
时，即
时，单调递减，
∴函数的单调递减区间为，
当
时，即
时，单调递增，
∴函数的单调递增区间为，
由
，
，
，得的值域为.
（2）
为减函数，
故当
时，
，
由题知的值域是的值域的子集，
∴
，解得
.
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