Question

如图，已知AB是⊙O的直径，过OA的中点G作弦CE⊥AB于G，点D为优弧CBE上（除点B外）一动点，过D分别作直线CD，ED交直线AB于点F，M．
（I）求∠FDM的值．
（II）若⊙O的直径长为4，M为OB的中点，求△CED的面积．

Answer 1

分析：（I）欲求∠FDM的值，由于此角不在圆内且与题设中条件联系不密切，故可将求此角的大小问题转化为求其补角角CDE的大小，由题设条件知G是半径的中点，由可在三角形COE中求出角EOC的大小，再由圆周角与圆心角的关系可以求得角CDE的大小，故可求得∠FDM的值．
（II）在三角形CDE中，角CDE已知，CE长度已知，在直角三角形EGM中可以求得角E的正弦，由此由正弦定理可以求出CD的长，再由正弦的和角公式求出角C的正弦，利用S=

1

2

×CE×CD×sinC，求其面积即可．

解答：解：（I）由题设条件过OA的中点G作弦CE⊥AB于G，连接OC，OE，
知OG=

1

2

OE=

1

2

OC，故可得∠OCG=∠OEG=30°，所以∠COE=120°，
∠CDM=60°，由图知∠FDM=120°，
（II）由题设⊙O的直径长为4，M为OB的中点
故GM=2，OG=1，
在直角三角形OGE中，由勾股定理可以求得GE=

3

，故EC=2

3

故可在直角三角形MGE中求得EM=

7

由此得sinE=

2 7

7

，cosE=

21

7

又∠CDE=60°
故sinC=sin（E+60⁰）=

2 7

7

×

1

2

+

21

7

×

3

2

=

5 7

14

由正弦定理得CD=

2 3

3 2

×

2 7

7

=

8 7

7

DE=

2 3

3 2

×

5 7

14

=

10 7

7

故△CED的面积为

1

2

×

8 7

7

×

10 7

7

× 

3

2

=

20 3

7

点评：本题考点是与圆有关的比例线段，考查圆周角与圆心角的关系，以及利用两角和与差的正弦公式求角的正弦，用正弦定理求三角形的边长，再利用三角形的面积公式求面积，本题涉及知识点较多，第二小题求解中综合利用解三角形的知识求面积，运算较繁，难度较大，做题时要用心体会本题转化的脉络．