Question

如图，已知AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的动点（异于A、B），过动点C的直线VC垂直于⊙O所在的平面，D，E分别是VA，VC的中点．
（1）求证：直线ED⊥平面VBC；
（2）若VC=AB=2BC，求直线EO与平面VBC所成角大小的正切值．

Answer 1

分析：（1）由D、E分别为VA、VC的中点得到DE∥AC，由已知条件证出AC⊥平面VBC，从而问题得证；
（2）取BC的中点K，可得OK⊥平面VBC，则EK是斜线EO在平面VBC上的射影，∴∠OEK就是所求线面角的大小，然后解直角三角形克的结论．

解答：（1）证明：如图，
∵AB是⊙O的直径，∴AC⊥BC，
又∵VC垂直于⊙O所在的平面，∴AC⊥VC，
而BC∩VC=C，∴AC⊥平面VBC．
又∵D、E分别为VA、VC的中点，∴DE是△VCA的中位线，
∴DE∥AC，∴DE⊥平面VBC．
（2）解：设VC=AB=2BC=2a，取BC得重点K，
在正△OBC中，OK=

3

2

a，且OK∥AC，OK⊥平面VBC
∴EK是斜线EO在平面VBC上的射影，∴∠OEK就是所求线面角的大小，
而EK是RT△VBC的中位线，∴EK=

5

2

a，
∴tan∠OEK=

OK

EK

=

3 2 a

5 2 a

=

15

5

．

点评：本题考查了直线与平面垂直的性质，考查了直线与平面所成的角，综合考查了学生的空间想象能力和思维能力，是中档题．