Question

2．已知函数f（x）=1n（x+a）-$\frac{x+1}{x+a}$
（1）求此函数的单调区间及最小值；
（2）当a=2时，过点A（-1，-1）作直线上与函数y=f（x）的图象相切，这样的直线有多少条？证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）先求导，然后分类讨论求出函数的单调区间和最值．
（2）求导数，利用导数的几何意义进行判断．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{x+1}{（x+a）^{2}}$
当a＞1时：
x∈（-a，1）时，f′（x）＜0，f（x）递减；
x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）递增；
f（x）的最小值为f（1）=lna-$\frac{2}{a+1}$．
当a≤1时，f′（x）恒大于零，f（x）递增，函数无最小值；
（2）当a=2时，f（x）=ln（x+2）-$\frac{x+1}{x+2}$（x＞-2），
设切点为T（x₀，ln（x₀+2）-$\frac{{x}_{0}+1}{{x}_{0}+2}$），
∴切线的斜率k=$\frac{{x}_{0}+1}{（{x}_{0}+2）^{2}}$，
∴切线的方程为y-ln（x₀+2）+$\frac{{x}_{0}+1}{{x}_{0}+2}$=$\frac{{x}_{0}+1}{（{x}_{0}+2）^{2}}$（x-x₀），
（-1，-1）代入可得-1-ln（x₀+2）+$\frac{{x}_{0}+1}{{x}_{0}+2}$=$\frac{{x}_{0}+1}{（{x}_{0}+2）^{2}}$（-1-x₀），①
设g（x）=ln（x+2）+$\frac{-{x}^{2}-x+1}{（x+2）^{2}}$，
∴g′（x）=$\frac{{x}^{2}+x}{（x+2）^{3}}$，
令g′（x）=0，解得x=-1或0．
∵x＞-2，
∴g（x）在区间（-2，-1），（0，+∞）是增函数，（-1，0）上是减函数，
∵g（0）＞0，注意到g（x）在其定义域上的单调性，知g（x）=0仅在（-2，-1）内有且仅有一根，
所以方程①有且仅有一解，故符合条件的切线有且仅有一条．

点评 本题主要考查利用导数研究函数的性质，要求熟练掌握导数和函数单调性，极值之间的关系，考查学生的运算能力