Question

15．如图，圆柱轴截面ABCD是正方形，E是底面圆周上不同于A、B的一点，AF⊥DE于F．
（1）求证：AF⊥BD
（2）若圆柱的体积是三棱锥D-ABE的体积的3π倍，求直线DE与平面ABCD所成角的正切值．

Answer 1

分析 （1）先证明BE⊥平面DAE，再证明AF⊥平面DBE，从而证明AF⊥BD；
（2）先找出直线DE与平面ABCD所成的角，再利用V_圆柱=3π•V_{三棱锥D-ABE}，求出边角关系，从而得出结论．

解答 解：（1）证明：∵DA⊥平面ABE，BE?平面ABE，
∴DA⊥BE；
又∵AB为底面圆的直径，∴AE⊥BE；
且DA∩AE=A，∴BE⊥平面DAE；
又CF?平面DAE，∴AF⊥BE；
又∵AF⊥DE，DE∩BE=E，∴AF⊥平面DBE；
又BD?平面DBE，∴AF⊥BD；
（2）过E在底面上作EH⊥AB于H，连结DH，
∵平面ABCD⊥平面ABE，∴EH⊥平面ABCD，
于是∠EDH为直线DE与平面ABCD所成的角；
设圆柱的底面半径为R，则其母线为2R，
V_圆柱=πR²•2R=2πR³，
V_{三棱锥D-ABE}=$\frac{1}{3}$S_△ABE•DA
=$\frac{1}{3}$•$\frac{1}{2}$•2R•EH•2R=$\frac{2}{3}$R²•EH，
由V_圆柱=3π•V_{三棱锥D-ABE}，
即2πR³=3π•$\frac{2}{3}$R²•EH，
解得EH=R；
即H为底面圆心，∴DH=$\sqrt{{（2R）}^{2}{+R}^{2}}$=$\sqrt{5}$R；
又EH⊥DH，∴tan∠EDH=$\frac{EH}{DH}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查了空间中的垂直关系的应用问题，也考查了空间角的计算问题，是综合性题目．