题目内容
【题目】已知数列{an}的首项为a1=1，且 
，（n∈N*）．
（1）求a2 ， a3的值，并证明：a2n﹣1＜a2n+1＜2；
（2）令bn=|a2n﹣1﹣2|，Sn=b1+b2+…+bn ． 证明： 
．
【答案】
（1）解：∵a1=1， 
，
∴ 
，a3= 
；
下证：a2n﹣1＜a2n+1＜2．
一方面， 
，
所以 
，
由题可知an＞0，所以 
，即an+1﹣2与an﹣2异号，
故an+2﹣2与an﹣2同号，于是a2n+1﹣2与a2n﹣1﹣2同号，
又∵a1﹣2=﹣1＜0，∴a2n+1＜2；
另一方面， 
由a2n﹣1＜2知a2n+1﹣a2n﹣1＞0，即a2n+1＞a2n﹣1，
综上所述：a2n﹣1＜a2n+1＜2；
（2）证明： 
，
由bn=|a2n﹣1﹣2|知 
，
又1≤a2n﹣1＜a2n+1＜2，所以 
，
而b1=1，所以当n≥2时 
，
同理可知： 
，
故Sn=b1+b2+…+bn 
，
，
综上： 
【解析】（1）通过a1=1， 计算求出a2 ， a3的值；一方面，利用 整理可知a2n+1﹣2与a2n﹣1﹣2同号，进而可知a2n+1＜2；另一方面，通过作差计算可知a2n+1＞a2n﹣1 ， 从而可得结论；（2）利用 计算可知 ，结合1≤a2n﹣1＜a2n+1＜2可知 ，利用累乘法可知 
≤bn＜ 
，进而利用等比数列的求和公式计算即得结论．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用数列的前n项和和数列的通项公式的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系
；如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式．
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