题目内容
【题目】若F1,F2是双曲线的两个焦点
(1)若双曲线上一点M到左焦点F1的距离等于7,求点M到右焦点F2的距离;
(2)若P是双曲线左支上的点,且|PF1|·|PF2|=32,试求△F1PF2的面积.
【答案】(1);(2).
【解析】
(1)根据双曲线的定义解答;
(2)利用双曲线的方程求得|F1F2|和|PF1|﹣|PF2|,进而利用配方法求得|PF1|2+|PF2|2的值代入余弦定理求得cos∠F1PF2 的值进而求得∠F1PF2从而得到三角形的面积.
解:(1)由双曲线的定义得||MF1|-|MF2||=2a=6,
又双曲线上一点M到它左焦点的距离等于7,假设点M到右焦点的距离等于x,
则|7-x|=6,解得x=1或x=13.
由于c-a=5-3=2,1<2,13>2,
故点M到另一个焦点的距离为13.
(2)将||PF2|-|PF1||=2a=6,两边平方得
|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|=36,
∴|PF1|2+|PF2|2=36+2|PF1|·|PF2|=36+2×32=100.
在△F1PF2中,由余弦定理得cos∠F1PF2=
==0,
∴∠F1PF2=90°,
∴△F1PF2的面积为|PF1|·|PF2|=×32=16.
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