题目内容
2．已知x＞0，对于任意x有$\frac{x}{{x}^{2}+3x+1}$≤a恒成立，求实数a的取值范围．分析 x＞0，对于任意x有$\frac{x}{{x}^{2}+3x+1}$≤a恒成立?$a≥（\frac{x}{{x}^{2}+3x+1}）_{max}$，利用基本不等式的性质即可得出．
解答 解：∵x＞0，对于任意x有$\frac{x}{{x}^{2}+3x+1}$≤a恒成立?$a≥（\frac{x}{{x}^{2}+3x+1}）_{max}$，
∵x＞0，∴$\frac{x}{{x}^{2}+3x+1}$=$\frac{1}{x+\frac{1}{x}+3}$$≤\frac{1}{2\sqrt{x•\frac{1}{x}}+3}$=$\frac{1}{5}$．当且仅当x=1时取等号．
∴$a≥\frac{1}{5}$．
∴实数a的取值范围是$[\frac{1}{5}，+∞）$．
点评 本题考查了恒成立问题的等价转化方法、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
练习册系列答案
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12．若过点$P（{-2\sqrt{3}，-2}）$的直线与圆x2+y2=4有公共点，则该直线的倾斜角的取值范围是（ ）
| A． | $（{0，\frac{π}{6}}）$ | B． | $[{0，\frac{π}{3}}]$ | C． | $[{0，\frac{π}{6}}]$ | D． | $（{0，\frac{π}{3}}]$ |
如图，设抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，过点F的直线l1交抛物线C于A，B两点，且|AB|=8，线段AB的中点到y轴的距离为3．
10．已知f（x）的导数f′（x），且x1＜x2，对x∈R时，xf′（x）＞-f（x），则下列不等式正确的是（ ）
| A． | x1f（x1）＞x2f（x2） | B． | x1f（x1）＜x2f（x2） | C． | x1f（x2）＞x2f（x1） | D． | x1f（x2）＞＜x2f（x1） |