Question

13．如图，设抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，过点F的直线l₁交抛物线C于A，B两点，且|AB|=8，线段AB的中点到y轴的距离为3．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）若直线l₂与圆x²+y²=$\frac{1}{2}$切于点P，与抛物线C切于点Q，求△FPQ的面积．

Answer 1

分析 （I）利用中点坐标公式、焦点弦长公式即可得出；
（Ⅱ）设l₂：y=kx+m，由l₂与⊙O相切可得2m²=1+k²，直线与抛物线方程联立可得k²x²+（2km-4）x+m²=0，利用直线l₂与抛物线相切，可得△=0可得km=1，联立解出k，m．得出Q坐标，|PQ|，直线l₂方程，利用点到直线l₂的距离公式可得F（1，0）到的距离．

解答 解：（Ⅰ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则AB中点坐标为$（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}，\frac{{{y_1}+{y_2}}}{2}）$，
由题意知$\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}=3$，∴x₁+x₂=6，
又|AB|=x₁+x₂+p=8，∴p=2，
故抛物线C的方程为y²=4x；
（Ⅱ）设l₂：y=kx+m，由l₂与⊙O相切得$\frac{{\sqrt{2}}}{2}=\frac{m}{{\sqrt{1+{k^2}}}}⇒2{m^2}=1+{k^2}$①，
由$\left\{\begin{array}{l}y=kx+m\\{y^2}=4x\end{array}\right.$⇒k²x²+（2km-4）x+m²=0，（*）
∵直线l₂与抛物线相切，
∴△=（2km-4）²-4k²m²=0⇒km=1②
由 ①，②得k=$\frac{1}{m}$=±1，
∴方程（*）为x²-2x+1=0，解得x=1，
∴Q（1，±2），
∴|PQ|=$\sqrt{{x}_{Q}^{2}+{y}_{Q}^{2}-{r}^{2}}$=$\sqrt{1+4-\frac{1}{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$；
此时直线l₂方程为y=x+1或y=-x-1，
∴令F（1，0）到l₂的距离为$d=\sqrt{2}$，
∴S_△PQF=$\frac{1}{2}|PQ|d$=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\frac{3\sqrt{2}}{2}$=$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了抛物线的标准方程及其性质、焦点弦长公式、直线与圆及其抛物线相切转化为方程联立可得△=0、弦长公式、三角形的面积计算公式、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．